2020 年考研数学（二） 第 7 题

见「伴随矩阵 + 齐次方程组通解」，两把钥匙：$A^{\ast }A=|A|E$（提供现成的解——$A$ 的列）和秩公式 $r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n\\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)<n-1\end{array}$（提供解空间维数）。本题 $A_{12}\ne 0$ 一石二鸟：既保证 $r(A^{\ast })\ge 1$ 从而 $r(A)=3$，又通过「代数余子式非零 ⟺ 对应三阶子式非零」精准指认出线性无关的三列 ${\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_4$（下标恰是去掉列 $2$）。

本题考查伴随矩阵的秩与齐次方程组的通解。 需确定 $A^{\ast }x=0$ 的基础解系。

第一步：定秩。 由 $A$ 不可逆得 $|A|=0$，故 $A^{\ast }A=|A|E=O$，说明 $A$ 的每个列向量 ${\alpha }_i$ 都是 $A^{\ast }x=0$ 的解。又 $A_{12}\ne 0$ 说明 $A^{\ast }$ 有非零元素，故 $r(A^{\ast })\ge 1$；再由 $A$ 不可逆知 $r(A)\le 3$，而当 $r(A)<3$ 时 $r(A^{\ast })=0$，矛盾。故 $r(A)=3,r(A^{\ast })=1$，从而 $A^{\ast }x=0$ 的基础解系含 $4-1=3$ 个解向量。

第二步：找无关解。 $A_{12}=(-1{)}^{1+2}{M}_{12}$，$A_{12}\ne 0$ 意味着划去 $A$ 的第 $1$ 行、第 $2$ 列后的三阶子式 $M_{12}\ne 0$。该子式由第 $2,3,4$ 行与第 $1,3,4$ 列构成非零，故列 ${\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 在这三行上的分量线性无关，从而 ${\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 本身线性无关。

这 $3$ 个线性无关的解 ${\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 恰构成 $A^{\ast }x=0$ 的一个基础解系，故通解为
$$x=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_3+k_3{\alpha }_4(k_1,k_2,k_3\text{任意}).$$
故选 C。