2017 年考研数学（二） 第 22 题

证 $r(A)=2$ 要「上下夹」：一方面列相关（${\alpha }_3={\alpha }_1+2{\alpha }_2$）给出 $r<3$；另一方面「三个不同特征值 ⇒ 可对角化 ⇒ 零特征值至多一个 ⇒ 非零特征值至少两个 ⇒ $r\ge 2$」。求通解则把向量关系直接读成方程组的解：${\alpha }_1+2{\alpha }_2-{\alpha }_3=0$ 就是 $A(1,2,-1{)}^T=0$（齐次基础解系），$\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$ 就是 $A(1,1,1{)}^T=\beta$（特解）。「系数向量当解向量」是这类抽象型方程组题的关键视角。

本题考查秩、可对角化与非齐次线性方程组的通解结构。

（Ⅰ） 设 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$。因 $A$ 有 $3$ 个不同特征值，$A$ 可相似对角化，即存在可逆 $P$ 使 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$。因 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ 两两不同，其中至多一个为 $0$，故 $r(A)\ge 2$。

又由 ${\alpha }_3={\alpha }_1+2{\alpha }_2$ 知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关，故 $|A|=0$，$r(A)<3$。综合得 $r(A)=2$。

（Ⅱ） 因 $r(A)=2$，齐次方程 $Ax=0$ 的基础解系含 $3-2=1$ 个解向量。由 ${\alpha }_3={\alpha }_1+2{\alpha }_2$ 得 ${\alpha }_1+2{\alpha }_2-{\alpha }_3=0$，即 $A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)=0$，故 $\xi =(1,2,-1{)}^T$ 为 $Ax=0$ 的基础解系。

又 $\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，故 $\eta =(1,1,1{)}^T$ 是 $Ax=\beta$ 的一个特解。

所以 $Ax=\beta$ 的通解为
$$x=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)(k\text{为任意常数}).$$