2017 年考研数学（二） 第 23 题

「标准形只写了两个平方项」是最关键的信号——它暗示第三个特征值必为 $0$，于是 $|A|=0$ 一步定出参数 $a=2$。剩下就是实对称矩阵正交对角化的套路：求特征值 $-3,6,0$、求特征向量。这里省心之处在于三个特征值互异，对应特征向量自动两两正交，只需单位化就能拼出正交阵 $Q$（不必施密特）。标准形的系数就是特征值，按你排 $Q$ 列的顺序对应写出 $-3y_1^2+6y_2^2$。

本题考查用正交变换化二次型为标准形（实对称矩阵的正交对角化）。 二次型矩阵为
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -4\\ 1& -1& 1\\ -4& 1& a\end{array}\right).$$

标准形只有 $2$ 个平方项，说明有一个特征值为 $0$，即 $|A|=0$。计算
$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -4\\ 1& -1& 1\\ -4& 1& a\end{array}\right|=-3(a-2)=0\Rightarrow a=2.$$

当 $a=2$ 时，由 $|\lambda E-A|=\lambda (\lambda +3)(\lambda -6)=0$ 得特征值 ${\lambda }_1=-3,{\lambda }_2=6,{\lambda }_3=0$。

求特征向量：

$\lambda =-3$：$(-3E-A)x=0$ 解得 ${\alpha }_1=(1,-1,1{)}^T$；

$\lambda =6$：$(6E-A)x=0$ 解得 ${\alpha }_2=(-1,0,1{)}^T$；

$\lambda =0$：$(0E-A)x=0$ 解得 ${\alpha }_3=(1,2,1{)}^T$。（三者互相正交，符合实对称矩阵不同特征值的特征向量正交。）

单位化：${\gamma }_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1{)}^T$，${\gamma }_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1{)}^T$，${\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1{)}^T$。取
$$Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ -\frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right),$$

则在正交变换 $x=Qy$ 下 $f=x^{T}Ax=-3y_1^2+6y_2^2$（对应 ${\lambda }_1=-3,{\lambda }_2=6,{\lambda }_3=0$）。