2017 年考研数学（二） 第 21 题

几何题先把「切线、法线的截距」翻成公式：切线在 $y$ 轴截距 $y-x{y}^{\prime }$，法线在 $x$ 轴截距 $x+y{y}^{\prime }$，令二者相等就得到微分方程 $y^{\prime }=\frac{y-x}{y+x}$。分子分母同除 $x$ 现出 $\frac{y}{x}$，是齐次方程的标志，令 $u=y/x$ 化成可分离变量。积分时 $\frac{1+u}{1+u^2}$ 拆成 $\frac{1}{1+u^2}+\frac{u}{1+u^2}$，分别给出 $\arctan$ 与 $\frac{1}{2}\ln$。最后用 $y(1)=0$ 钉死常数。

本题考查用几何条件建立一阶微分方程并求解（齐次方程）。 先写出切线、法线的截距，由 $X_P=Y_P$ 得微分方程。

设 $P=(x,y)$。切线 $Y-y=y^{\prime }(X-x)$，令 $X=0$ 得 $Y_P=y-x{y}^{\prime }$；法线 $Y-y=-\frac{1}{y^{\prime }}(X-x)$，令 $Y=0$ 得 $X_P=x+y{y}^{\prime }$。

由 $X_P=Y_P$：$x+y{y}^{\prime }=y-x{y}^{\prime }$，整理得
$$\frac{dy}{dx}=\frac{y-x}{y+x}=\frac{\frac{y}{x}-1}{\frac{y}{x}+1}.$$
这是齐次方程。

令 $\frac{y}{x}=u$，则 $y=ux$，$y^{\prime }=u+x\frac{du}{dx}$，代入得 $u+x\frac{du}{dx}=\frac{u-1}{u+1}$，整理
$$x\frac{du}{dx}=\frac{u-1}{u+1}-u=-\frac{1+u^2}{1+u}.$$

分离变量 $\frac{1+u}{1+u^2}du=-\frac{dx}{x}$，积分得
$$\arctan u+\frac{1}{2}\ln (1+u^2)=-\ln x+C.$$

回代 $u=\frac{y}{x}$，并由 $y(1)=0$（即 $x=1,y=0$）得 $C=0$，故所求方程为
$$\frac{1}{2}\ln \left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)+\arctan \frac{y}{x}=-\ln x,$$
即 $\ln (x^2+y^2)+2\arctan \frac{y}{x}=0$。