2017 年考研数学（二） 第 20 题

圆盘上积多项式，先「配方认区域 + 对称性砍项」。$x^2+y^2\le 2y$ 配成以 $(0,1)$ 为心的单位圆，天然关于 $y$ 轴对称，于是 $(x+1{)}^2$ 展开后奇函数项 $2x$ 积分为零，直接扔掉。剩 $\iint x^2$ 与 $\iint 1$：后者是面积 $\pi$；前者上极坐标，圆过原点故 $r$ 上限是 $2\sin \theta$，被积函数出现 ${\cos }^2\theta {\sin }^4\theta$，用华里士（点火）公式收尾。对称性是二重积分省力的第一杠杆。

本题考查二重积分的计算，综合运用对称性与极坐标。 区域 $x^2+y^2\le 2y$ 即 $x^2+(y-1{)}^2\le 1$，是圆心 $(0,1)$、半径 $1$ 的圆盘，关于 $y$ 轴对称。

展开 $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$。因 $D$ 关于 $y$ 轴对称而 $2x$ 是 $x$ 的奇函数，故 ${\iint }_{D}2xd\sigma =0$，于是
$${\iint }_D(x+1{)}^{2}d\sigma ={\iint }_D(x^2+1)d\sigma ={\iint }_D{x}^{2}d\sigma +{\iint }_{D}d\sigma .$$

其中 ${\iint }_{D}d\sigma$ 为圆盘面积 $=\pi \cdot 1^2=\pi$。

用极坐标 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，$D$ 化为 $0\le \theta \le \pi ,0\le r\le 2\sin \theta$：
$${\iint }_D{x}^{2}d\sigma ={\int }_0^{\pi }d\theta {\int }_0^{2\sin \theta }{r}^2{\cos }^2\theta \cdot rdr={\int }_0^{\pi }{\cos }^2\theta \cdot \frac{(2\sin \theta {)}^4}{4}d\theta =4{\int }_0^{\pi }{\cos }^2\theta {\sin }^4\theta d\theta .$$

由对称性化到 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 并用点火公式：
$$4{\int }_0^{\pi }{\cos }^2\theta {\sin }^4\theta d\theta =8{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^2\theta {\sin }^4\theta d\theta =8\left(\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{4}.$$

故
$${\iint }_D(x+1{)}^{2}d\sigma =\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{5\pi }{4}.$$