2017 年考研数学（二） 第 19 题

这类「证明导数组合有几个根」的题，核心是把目标式认成某个 $F(x)$ 的导数。看到 $f{f}^{\prime \prime }+(f^{\prime }{)}^2$，它正是 $(f{f}^{\prime }{)}^{\prime }$，于是令 $F=f{f}^{\prime }$，把「$F^{\prime }$ 有两根」转化为「$F$ 有三零点」（罗尔一次得一根，三零点得两根）。三零点从哪来？$f(0)=0$（由极限有限逼出）、$f(x_0)=0$（第Ⅰ问）先给 $F$ 两个零点，再对 $f$ 在这两零点间用一次罗尔得 $f^{\prime }({\xi }_1)=0$，$F({\xi }_1)=0$ 补上第三个。层层罗尔是压轴证明题的常规兵器。

本题考查零点定理、罗尔定理及构造辅助函数。 关键先由极限条件推出 $f(0)=0$ 及 $f$ 在 $0$ 右侧取负值。

预备： 因 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)}{x}$ 存在且有限，而分母 $x\to 0$，故必有 $f(0^{+})=0$；又 $f$ 连续，$f(0)=0$。

（Ⅰ） 根据极限的保号性，由 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)}{x}<0$ 知：存在 $\delta >0$，当 $x\in (0,\delta )$ 时 $\frac{f(x)}{x}<0$，即 $f(x)<0$。于是存在 $c\in (0,\delta )$ 使 $f(c)<0$。又 $f(1)>0$，故 $f(c)f(1)<0$，由零点定理，存在 $x_0\in (c,1)\subset (0,1)$ 使 $f(x_0)=0$。

（Ⅱ） 令 $F(x)=f(x)f^{\prime }(x)$，则 $F^{\prime }(x)=f(x)f^{\prime \prime }(x)+[f^{\prime }(x){]}^2$，故只需证 $F^{\prime }(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内有两个不同实根。

由 $f(0)=0$ 与 $f(x_0)=0$，在 $[0,x_0]$ 上对 $f$ 用罗尔定理，存在 ${\xi }_1\in (0,x_0)$ 使 $f^{\prime }({\xi }_1)=0$。于是
$$F(0)=f(0)f^{\prime }(0)=0,F({\xi }_1)=f({\xi }_1)f^{\prime }({\xi }_1)=0,F(x_0)=f(x_0)f^{\prime }(x_0)=0,$$
即 $F$ 在 $0<{\xi }_1<x_0$ 三点处均为零。

分别在 $[0,{\xi }_1]$ 与 $[{\xi }_1,x_0]$ 上对 $F$ 用罗尔定理，存在 ${\eta }_1\in (0,{\xi }_1)$、${\eta }_2\in ({\xi }_1,x_0)$ 使 $F^{\prime }({\eta }_1)=F^{\prime }({\eta }_2)=0$，且 ${\eta }_1\ne {\eta }_2$。即方程 $f(x)f^{\prime \prime }(x)+[f^{\prime }(x){]}^2=0$ 在 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根。证毕。