2017 年考研数学（二） 第 18 题

隐函数求极值三部曲：隐微分求 $y^{\prime }$、令 $y^{\prime }=0$ 定驻点、用 $y^{\prime \prime }$ 定性。求导得 $y^{\prime }=\frac{1-x^2}{1+y^2}$，分母恒正，所以 $y^{\prime }$ 的符号完全由 $1-x^2$ 决定——这本身就能判：$x$ 从 $-1$ 到 $1$ 之间 $y^{\prime }>0$、两侧 $y^{\prime }<0$，故 $x=-1$ 是谷（极小）、$x=1$ 是峰（极大）。要严谨就再求一次导，在 $y^{\prime }=0$ 处 $y^{\prime \prime }=\frac{-2x}{y^2+1}$ 符号一目了然。别忘了把驻点横坐标代回原方程求出纵坐标 $y$，极值是 $y$ 的值。

本题考查隐函数求导与极值判定。 先由 $y^{\prime }=0$ 找驻点，再用 $y^{\prime \prime }$ 的符号判别极大、极小。

方程两边对 $x$ 求导：
$$3x^2+3y^2{y}^{\prime }-3+3y^{\prime }=0\Rightarrow y^{\prime }=\frac{1-x^2}{1+y^2}.$$
令 $y^{\prime }=0$ 得 $1-x^2=0$，即 $x_1=-1,x_2=1$。

求对应函数值：

$x=-1$ 代入原方程：$-1+y^3+3+3y-2=0\Rightarrow y^3+3y=0\Rightarrow y=0$，得点 $(-1,0)$；

$x=1$ 代入：$1+y^3-3+3y-2=0\Rightarrow y^3+3y-4=0\Rightarrow (y-1)(y^2+y+4)=0\Rightarrow y=1$，得点 $(1,1)$。

对 $3x^2+3y^2{y}^{\prime }-3+3y^{\prime }=0$ 再求导：$6x+6y(y^{\prime }{)}^2+3y^2{y}^{\prime \prime }+3y^{\prime \prime }=0$。在驻点处 $y^{\prime }=0$，故 $y^{\prime \prime }=\frac{-6x}{3y^2+3}=\frac{-2x}{y^2+1}$。

由 $y^{\prime \prime }(-1)=\frac{2}{1}=2>0$，故 $x=-1$ 为极小值点，极小值 $y=0$；由 $y^{\prime \prime }(1)=\frac{-2}{2}=-1<0$，故 $x=1$ 为极大值点，极大值 $y=1$。