2017 年考研数学（二） 第 17 题

$n$ 项和求极限，先看能否凑成黎曼和 $\frac{1}{n}\sum f(\frac{k}{n})\to {\int }_0^{1}f$。这里把 $\frac{k}{n^2}$ 拆成 $\frac{1}{n}\cdot \frac{k}{n}$，$f(x)=x\ln (1+x)$ 呼之欲出，极限即 ${\int }_0^{1}x\ln (1+x)dx$。算这个定积分用分部积分把 $\ln$ 求导掉，遇到 $\frac{x^2}{1+x}$ 用「多项式除法」拆成 $x-1+\frac{1}{1+x}$，逐项积分，$\frac{1}{2}\ln 2$ 恰好抵消，得干净的 $\frac{1}{4}$。

本题考查用定积分的定义求 $n$ 项和的极限。 把和式凑成 $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ 的形式。

$$\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}\ln \left(1+\frac{k}{n}\right)=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\ln \left(1+\frac{k}{n}\right)\stackrel{n\to \infty }{\to }{\int }_0^{1}x\ln (1+x)dx.$$

用分部积分（$u=\ln (1+x)$，$dv=xdx$，$v=\frac{x^2}{2}$）：
$${\int }_0^{1}x\ln (1+x)dx=\frac{1}{2}{x}^2\ln (1+x){|}_0^1-\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{x^2}{1+x}dx=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{(x^2-1)+1}{1+x}dx.$$

其中 $\frac{x^2-1}{1+x}=x-1$，故
$$\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}{\int }_0^1\left(x-1+\frac{1}{1+x}\right)dx=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1+\ln 2\right)=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\ln 2=\frac{1}{4}.$$
故极限为 $\frac{1}{4}$。