2017 年考研数学（二） 第 16 题

多元复合求导，先把「外层怎么依赖 $x$」写清楚：$u=e^x$ 贡献 $u^{\prime }=e^x$，$v=\cos x$ 贡献 $v^{\prime }=-\sin x$。一阶链式 $\frac{dy}{dx}=f_1^{\prime }{e}^x-f_2^{\prime }\sin x$。求二阶时切记 $f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 本身还是 $(u,v)$ 的函数，对 $x$ 求导要再套链式，产生 $f_{11}^{\prime \prime },f_{12}^{\prime \prime },f_{22}^{\prime \prime }$。最省事的是「先求出一般表达式再代 $x=0$」：此时 $\sin 0=0$ 把一大批项打掉，只剩 $f_{11}^{\prime \prime }+f_1^{\prime }-f_2^{\prime }$（那个 $-f_2^{\prime }$ 来自 $-\cos x{f}_2^{\prime }$ 在 $x=0$ 的值）。

本题考查多元复合函数的求导（链式法则）与二阶导数。 记 $u=e^x$，$v=\cos x$，$f_1^{\prime }=\frac{\partial f}{\partial u}$，$f_2^{\prime }=\frac{\partial f}{\partial v}$。注意 $x=0$ 时 $u=1,v=1$。

一阶导（链式法则 $\frac{dy}{dx}=f_1^{\prime }\cdot u^{\prime }+f_2^{\prime }\cdot v^{\prime }$，其中 $u^{\prime }=e^x$，$v^{\prime }=-\sin x$）：
$$\frac{dy}{dx}=e^x{f}_1^{\prime }-\sin x\cdot f_2^{\prime }.$$
代入 $x=0$：$\frac{dy}{dx}{|}_{x=0}=f_1^{\prime }(1,1)$。

二阶导（对上式再求导，$f_1^{\prime },f_2^{\prime }$ 仍是复合函数，需再用链式法则）：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=e^x{f}_1^{\prime }+e^x(e^x{f}_{11}^{\prime \prime }-\sin x\cdot f_{12}^{\prime \prime })-\cos x\cdot f_2^{\prime }-\sin x(e^x{f}_{21}^{\prime \prime }-\sin x\cdot f_{22}^{\prime \prime }).$$

代入 $x=0$（$e^0=1,\sin 0=0,\cos 0=1$，且 $f_{12}^{\prime \prime }=f_{21}^{\prime \prime }$ 连续）：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=0}=f_1^{\prime }(1,1)+f_{11}^{\prime \prime }(1,1)-f_2^{\prime }(1,1).$$