2017 年考研数学（二） 第 15 题

变限积分求极限，最怕被积函数里藏着上限变量 $x$——直接对上限求导会出错。破解口诀：先换元把 $x$ 从被积函数搬到积分号外。这里 $u=x-t$ 一换，$\sqrt{x-t}\to \sqrt{u}$，多出的 $e^x$ 提到前面（且 $\to 1$），剩下 ${\int }_0^x\sqrt{u}{e}^{-u}du$ 是标准的对上限可导的量。再套洛必达：分子导数由微积分基本定理给出 $\sqrt{x}{e}^{-x}$，分母 $x^{3/2}$ 求导得 $\frac{3}{2}\sqrt{x}$，$\sqrt{x}$ 相约，极限 $\frac{2}{3}$。

本题考查变限积分求极限。 被积函数中含参数 $x$（在 $\sqrt{x-t}$ 里），不能直接对上限求导，先换元把 $x$ 从被积函数中「请出去」。

令 $u=x-t$（$x$ 视为常数），则 $t=x-u$，$dt=-du$，$t:0\to x$ 对应 $u:x\to 0$：
$${\int }_0^x\sqrt{x-t}{e}^{t}dt={\int }_0^x\sqrt{u}{e}^{x-u}du=e^x{\int }_0^x\sqrt{u}{e}^{-u}du.$$

于是（$e^x\to 1$，其余为 $\frac{0}{0}$ 型，对分子分母分别求导，分子用微积分基本定理）
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{e^x{\int }_0^x\sqrt{u}{e}^{-u}du}{\sqrt{x^3}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\int }_0^x\sqrt{u}{e}^{-u}du}{x^{3/2}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x}{e}^{-x}}{\frac{3}{2}\sqrt{x}}=\frac{2}{3}.$$

故所求极限为 $\frac{2}{3}$。