2017 年考研数学（二） 第 14 题

「已知特征向量求参数」直接搬定义 $A\xi =\lambda \xi$：把 $\xi$ 乘进去得到三个数量方程。策略是先挑不含未知量 $a$ 的那一行（第一行）把 $\lambda$ 定死为 $1$，再回到含 $a$ 的第二行 $3+2a=\lambda$ 解 $a=-1$。第三行用来验算 $\lambda$ 是否自洽（$2=2\lambda$ 确实给 $\lambda =1$），保证特征向量成立。

本题考查特征值与特征向量的定义 $A\xi =\lambda \xi$。 把已知特征向量代入即可逐行列方程。

由 $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ 逐行写出：
$$\{\begin{array}{l}4\cdot 1+1\cdot 1+(-2)\cdot 2=1=\lambda \cdot 1,\\ 1\cdot 1+2\cdot 1+a\cdot 2=3+2a=\lambda \cdot 1,\\ 3\cdot 1+1\cdot 1+(-1)\cdot 2=2=\lambda \cdot 2.\end{array}$$

第一行给出 $\lambda =1$（第三行 $2=2\lambda$ 也给 $\lambda =1$，一致）。代入第二行 $3+2a=\lambda =1$，解得 $a=-1$。