2017 年考研数学（二） 第 13 题

看到内层是 $\frac{\tan x}{x}$（没有初等原函数）却要先对 $x$ 积，这就是「换序」的红灯。画出三角形区域 $0\le y\le x\le 1$，把它改写成先 $y$ 后 $x$：对 $y$ 积分区间长度正好是 $x$，与被积函数分母 $x$ 神奇相消，难积的 $\frac{\tan x}{x}$ 塌缩成 $\tan x$，一步积出 $-\ln \cos 1$。这类「分母有多余变量」的二次积分，换序几乎必能消元。

本题考查二次积分的交换积分次序。 内层 $\frac{\tan x}{x}$ 无初等原函数，必须先换序把 $x$ 放到外层。

积分区域 $D:0\le y\le 1,y\le x\le 1$，即 $D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le x\}$。交换次序：
$${\int }_0^{1}dy{\int }_y^1\frac{\tan x}{x}dx={\int }_0^1\frac{\tan x}{x}dx{\int }_0^{x}dy={\int }_0^1\frac{\tan x}{x}\cdot xdx={\int }_0^1\tan xdx.$$

最后
$${\int }_0^1\tan xdx=-\ln |\cos x|{|}_0^1=-\ln \cos 1.$$