2017 年考研数学（二） 第 12 题

「已知全微分求原函数」有两条路：一是眼力凑，看出 $y{e}^{y}dx+x(1+y)e^{y}dy$ 恰是 $d(xy{e}^y)$（因为 $(y{e}^y{)}_y^{\prime }=(1+y)e^y$）；二是稳扎稳打偏积分——先对 $x$ 积回 $xy{e}^y$，多出的待定函数 $g(y)$ 再用对 $y$ 的偏导条件卡死为常数。最后用 $f(0,0)=0$ 收尾定常数。连续偏导保证了这条路可行（微分式必为恰当微分）。

本题考查由全微分求原函数（凑全微分 / 偏积分）。 已知 $df=Pdx+Qdy$，其中 $P=y{e}^y$，$Q=x(1+y)e^y$。

方法一（凑全微分）： 注意到
$$d\left(xy{e}^y\right)=y{e}^{y}dx+xd\left(y{e}^y\right)=y{e}^{y}dx+x(1+y)e^{y}dy=df,$$
故 $f(x,y)=xy{e}^y+C$。

方法二（偏积分）： 由 $\frac{\partial f}{\partial x}=y{e}^y$ 对 $x$ 积分得 $f=xy{e}^y+g(y)$；再由 $\frac{\partial f}{\partial y}=x(1+y)e^y+g^{\prime }(y)$ 应等于 $x(1+y)e^y$，得 $g^{\prime }(y)=0$，$g(y)=C$。

由 $f(0,0)=0$ 得 $C=0$，故 $f(x,y)=xy{e}^y$。