2017 年考研数学（二） 第 11 题

被积函数是「对数 × 有理式」，典型的分部积分信号。诀窍是把 $(1+x{)}^{-2}$ 认成 $(-(1+x{)}^{-1}{)}^{\prime }$，这样求导落到 $\ln (1+x)$ 上变成 $\frac{1}{1+x}$，积分立刻好算。分部后边界项因「对数增长慢于一次式」在 $+\infty$ 处归零，只剩一个标准反常积分 ${\int }_0^{\infty }(1+x{)}^{-2}dx=1$。

本题考查反常积分的计算（分部积分）。 把 $\frac{1}{(1+x{)}^2}dx$ 视作 $d\left(-\frac{1}{1+x}\right)$，对 $\ln (1+x)$ 分部。

$${\int }_0^{+\infty }\frac{\ln (1+x)}{(1+x{)}^2}dx=-{\int }_0^{+\infty }\ln (1+x)d\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{\ln (1+x)}{1+x}{|}_0^{+\infty }+{\int }_0^{+\infty }\frac{1}{(1+x{)}^2}dx.$$

边界项：当 $x\to +\infty$，$\frac{\ln (1+x)}{1+x}\to 0$；在 $x=0$ 处为 $0$，故该项为 $0$。

剩下的积分：
$${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{(1+x{)}^2}dx=-\frac{1}{1+x}{|}_0^{+\infty }=0-(-1)=1.$$
故原积分 $=1$。