2017 年考研数学（二） 第 10 题

参数方程二阶导最容易错在「忘了再除一次 $\frac{dx}{dt}$」。牢记链条：$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{1}{x_t^{\prime }}\cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}\right)$。本题 $\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{1+e^t}$，对 $t$ 求商的导数、再除以 $1+e^t$。既然只问 $t=0$ 的值，也可以先把一阶导对 $t$ 求导得分子，代入 $t=0$ 使 $\sin t$ 项消失，只剩 $-\frac{e^0}{(1+e^0{)}^3}=-\frac{1}{8}$，省去化简。

本题考查参数方程的二阶导数。 一阶导 $\frac{dy}{dx}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}$；二阶导 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)/\frac{dx}{dt}$。

由 $x_t^{\prime }=1+e^t$，$y_t^{\prime }=\cos t$，得
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{1+e^t}.$$

再对 $t$ 求导并除以 $x_t^{\prime }$：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{\cos t}{1+e^t}\right)}{1+e^t}=\frac{\frac{-\sin t(1+e^t)-e^t\cos t}{(1+e^t{)}^2}}{1+e^t}=-\frac{(1+e^t)\sin t+e^t\cos t}{(1+e^t{)}^3}.$$

代入 $t=0$（$\sin 0=0,\cos 0=1,e^0=1$）：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{t=0}=-\frac{(1+1)\cdot 0+1\cdot 1}{(1+1{)}^3}=-\frac{1}{8}.$$