2017 年考研数学（二） 第 9 题

斜渐近线就是「先抓斜率再抓截距」两步：$k=\lim y/x$ 把 $\arcsin \frac{2}{x}$ 直接送到 $0$，得 $k=1$；$b=\lim (y-kx)=\lim x\arcsin \frac{2}{x}$ 是 $\infty \cdot 0$ 型，令 $\frac{2}{x}=u\to 0$ 用 $\arcsin u\sim u$，$x\cdot \frac{2}{x}=2$。合起来 $y=x+2$。整题的关键信号是 $\arcsin \frac{2}{x}$ 当 $x\to \infty$ 时是小量，可放心用等价无穷小。

本题考查斜渐近线 $y=kx+b$ 的求法：$k={\lim }_{x\to \infty }\frac{y}{x}$，$b={\lim }_{x\to \infty }(y-kx)$。

求斜率：
$$k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(1+\arcsin \frac{2}{x}\right)=1+0=1.$$

求截距（令 $u=\frac{2}{x}\to 0$，用 $\arcsin u\sim u$）：
$$b=\underset{x\to \infty }{\lim }(y-x)=\underset{x\to \infty }{\lim }x\arcsin \frac{2}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\arcsin \frac{2}{x}}{\frac{1}{x}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{x}}=2.$$

故斜渐近线方程为 $y=x+2$。