2017 年考研数学（二） 第 8 题

相似判定三步走：先看特征值是否相同（这里都是 $2,2,1$），若相同再看「可否对角化」。$C$ 是对角阵天然可对角化，所以只要判断 $A$、$B$ 在二重根 $\lambda =2$ 处的几何重数够不够 $2$。算 $r(2E-M)$：$A$ 得 $1$（几何重数 $2$，够，可对角化，$A\sim C$）；$B$ 得 $2$（几何重数只有 $1$，不够，$B$ 的 Jordan 块拆不开，不可对角化）。「一个能对角化、一个不能，必不相似」，故 $B\nsim C$。

本题考查相似判定：特征值相同且都可对角化则相似；一个能对角化、一个不能，则不相似。 三个矩阵都是上三角，特征值同为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=2,{\lambda }_3=1$。$C$ 是对角阵，显然可对角化。

对二重特征值 $\lambda =2$，用「几何重数 $=3-r(2E-M)$ 是否等于 $2$」判断可否对角化。

对 $A$：$2E-A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$r(2E-A)=1$，几何重数 $=3-1=2=$ 代数重数，故 $A$ 可对角化，从而 $A\sim C$。

对 $B$：$2E-B=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$r(2E-B)=2$，几何重数 $=3-2=1\ne 2$，故 $B$ 不可对角化。$C$ 可对角化而 $B$ 不能，故 $B$ 与 $C$ 不相似。

综上，$A$ 与 $C$ 相似、$B$ 与 $C$ 不相似。故应选 B。