2017 年考研数学（二） 第 7 题

看到 $P^{-1}AP=\Lambda$，第一反应是「两边右乘 $P^{-1}$ 的逆」变成 $AP=P\Lambda$，这样 $P$ 的每一列就现出特征向量本色：$A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i$。本题特征值恰是 $0,1,2$，所以 $A{\alpha }_1$ 被 $0$ 吃掉、$A{\alpha }_2={\alpha }_2$、$A{\alpha }_3=2{\alpha }_3$。对和向量用线性性逐项作用，立刻得 ${\alpha }_2+2{\alpha }_3$。核心就是「对角化 = 按列给特征向量各自缩放」。

本题考查相似对角化的列向量含义：$P^{-1}AP=\Lambda$ 等价于 $AP=P\Lambda$，即 $P$ 的各列是 $A$ 的特征向量。

由 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(0,1,2)$ 得 $AP=P\mathrm{diag}(0,1,2)$，按列比较即
$$A{\alpha }_1=0\cdot {\alpha }_1=0,A{\alpha }_2=1\cdot {\alpha }_2={\alpha }_2,A{\alpha }_3=2\cdot {\alpha }_3=2{\alpha }_3.$$

于是
$$A({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)=A{\alpha }_1+A{\alpha }_2+A{\alpha }_3=0+{\alpha }_2+2{\alpha }_3={\alpha }_2+2{\alpha }_3.$$
故应选 B。