2017 年考研数学（二） 第 6 题

把「追及」翻译成「位移相等」：乙要抹平初始 $10$ m，就要靠速度差的积分 $\int (v_2-v_1)dt$ 累积到 $10$。速度差的积分正是两条速度曲线之间的带符号面积——甲在上方的区段记负、乙在上方的区段记正。前一块 $10$（甲快）先把差距拉大到 $20$，第二块 $20$（乙快）追回，净值 $-10+20=10$ 恰在 $t=25$ 达成。第三块面积 $3$ 是 $25$ 秒之后的事，与追上时刻无关，属于干扰信息。

本题考查定积分的物理意义：速度对时间的积分等于位移，速度曲线下（间）的面积即路程。 乙追上甲，等价于「乙比甲多走的路程恰好补上初始的 $10$ m 差距」。

从 $t=0$ 到 $t=t_0$，甲、乙各自走过的路程为
$$S_1={\int }_0^{t_0}{v}_1(t)dt,S_2={\int }_0^{t_0}{v}_2(t)dt.$$

乙追上甲时，乙的总位移应等于甲的总位移加上初始领先量 $10$：
$$S_2=S_1+10,\text{即}{\int }_0^{t_0}[v_2(t)-v_1(t)]dt=10.$$

由图，两曲线之间的面积（带符号）：$[0,10]$ 上甲快（记为 $-10$），$[10,25]$ 上乙快（记为 $+20$）。到 $t=25$ 时
$${\int }_0^{25}[v_2-v_1]dt=-10+20=10,$$
恰好补上 $10$ m 差距，故 $t_0=25$。故应选 C。