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2017 年考研数学（二） 第 5 题

选择题 · 4 分

设 具有一阶偏导数，且对任意的 ，都有 ，，则（　　）
  • A
  • B
  • C
  • D
提示 1：固定 时 随 增大而增大；：固定 时 随 增大而减小。
提示 2要比 与 ，可经由中转点 分两步比较。
提示 3（ 变大），（ 变大使 减小），串起来得结论。
答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

偏导数符号就是「沿坐标方向的单调性」： 向右增大， 向上减小。比较两点时只沿坐标轴走、每步只改一个变量即可判号。 经中转点 ：从 到 是 减小（ 增大），从 到 是 增大（ 增大），两步都让 变大，所以 最大。而 与 一增一减方向冲突，无法比较，直接排除 A、B。

解答

本题考查偏导数符号与函数单调性的关系。 偏导数的正负决定了固定另一变量时函数沿该变量的增减。

由 知 关于 单调增加，故 ；由 知 关于 单调减少，故 。

比较 与 ：

先固定 ，由关于 增：；

再固定 ，由关于 减：。

两式串联得 ，即 。故应选 D。

（注：A、B 比较的 与 ， 增使 变大、 增使 变小，方向相反、无法确定大小，故排除。）

考点：偏导数

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