2017 年考研数学（二） 第 4 题

待定特解只需判断「自由项是否与齐次解共振」。特征根 $2\pm 2i$：纯指数项 $e^{2x}$ 的特征数是 $2$（实数），不在 $\{2\pm 2i\}$ 中，不共振，设 $A{e}^{2x}$；而 $e^{2x}\cos 2x$ 的特征数是 $2\pm 2i$，与特征根重合，共振一次，须乘 $x$，设 $x{e}^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x)$。两项相加即得 C，关键就是「只有 $\cos 2x$ 那一支共振」。

本题考查常系数非齐次线性微分方程特解形式的待定（是否需要乘 $x$ 取决于是否与特征根共振）。 先求特征根，再按自由项分两部分设特解。

特征方程 ${\lambda }^2-4\lambda +8=0$，判别式 $16-32<0$，特征根 ${\lambda }_{1,2}=2\pm 2i$。

自由项拆为两部分：

① $e^{2x}$： 指数 $\mu =2$ 不是特征根（特征根为 $2\pm 2i$），故设 $y_1^{\ast }=A{e}^{2x}$。

② $e^{2x}\cos 2x$： 对应 $\mu \pm i\omega =2\pm 2i$ 恰为特征根（共振），需乘一个 $x$，故设 $y_2^{\ast }=x{e}^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x)$。

叠加得
$$y^{\ast }=A{e}^{2x}+x{e}^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x).$$
故应选 C。