2017 年考研数学（二） 第 3 题

既然数列收敛，把极限记作 $A$，问题就变成「方程 $\phi (A)=0$ 是否只有 $A=0$」。$\sin A=0$、$A+\sqrt{|A|}=0$、$A+A^2=0$ 都另有非零根（$\pi$、$-1$、$-1$），一举反例即可。唯独 $A+\sin A=0$：把 $g(t)=t+\sin t$ 看成严格单调增函数（$g^{\prime }=1+\cos t\ge 0$ 且只在孤立点为零），单调性保证零点唯一，故 $A=0$。「函数严格单调 ⇒ 方程根唯一」是这类题的通用钥匙。

本题考查数列极限与函数的单调性（利用极限的四则运算与连续函数保极限）。 因 $\{x_n\}$ 收敛，设 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=A$，逐项判断在什么条件下必有 $A=0$。

A 错： $\lim \sin x_n=\sin A=0$ 只给出 $A=k\pi$，未必为 $0$（取 $x_n\equiv \pi$，$A=\pi \ne 0$）。

B 错： $A+\sqrt{|A|}=0$ 时 $A\le 0$；令 $A=-1$ 得 $-1+\sqrt{1}=0$ 成立，但 $A=-1\ne 0$。

C 错： $A+A^2=0$ 即 $A(A+1)=0$，解得 $A=0$ 或 $A=-1$，取 $x_n\equiv -1$ 即为反例。

D 对： 由 $\lim (x_n+\sin x_n)=A+\sin A=0$。设 $g(t)=t+\sin t$，则 $g^{\prime }(t)=1+\cos t\ge 0$，$g$ 严格单调增加且 $g(0)=0$，故 $A+\sin A=0$ 只有唯一解 $A=0$。所以 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=0$。故应选 D。