2017 年考研数学（二） 第 2 题

只给三点值加 $f^{\prime \prime }>0$，正是「凹凸性 + 弦」的信号。凹函数落在弦下方，于是把三点连成折线，曲线下的积分小于折线下的积分；而折线由对称的两段构成，其积分为 $0$，立即得 ${\int }_{-1}^{1}f<0$。选择题里更快的办法是造一个满足全部条件的简单函数 $f(x)=2x^2-1$，一算积分为负、且左右对称，A、C、D 全被排除。

本题考查凹凸性（曲线与弦的位置关系）与定积分的估值比较。 由 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 知曲线是凹的（下凸），在任一区间上位于连接端点的弦之下方。

方法一（举例排除）： 取 $f(x)=2x^2-1$，则 $f(1)=f(-1)=1$，$f(0)=-1$，$f^{\prime \prime }(x)=4>0$ 均满足，而
$${\int }_{-1}^1(2x^2-1)dx=2\cdot \frac{2}{3}-2=-\frac{2}{3}<0,$$
排除 A；又该 $f$ 关于 $y$ 轴对称，${\int }_{-1}^{0}f={\int }_0^{1}f$，排除 C、D。故选 B。

方法二（凹凸性证明）： 记 $A(-1,1),B(0,-1),C(1,1)$，设 $y=g(x)$（$-1\le x\le 1$）为折线 $A-B-C$。因 $f^{\prime \prime }(x)>0$，曲线 $y=f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上是凹的，位于折线之下，故 ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx<{\int }_{-1}^{1}g(x)dx$。

而折线所围两个三角形面积对称抵消：
$${\int }_{-1}^{1}g(x)dx={\int }_{-1}^{0}g(x)dx+{\int }_0^{1}g(x)dx=0,$$
所以 ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx<0$。故应选 B。