2017 年考研数学（二） 第 1 题

分段函数在分界点连续，标准动作是「左=右=值」。$x\le 0$ 侧直接给出 $f(0)=b$，所以真正要算的只有右极限。看到 $1-\cos (\cdot )$ 立刻想到等价无穷小 $1-\cos u\sim \frac{u^2}{2}$，这里 $u=\sqrt{x}$，于是分子 $\sim \frac{x}{2}$，与分母 $ax$ 相消得 $\frac{1}{2a}$。连续条件 $b=\frac{1}{2a}$ 一步给出 $ab=\frac{1}{2}$，无需硬套洛必达。

本题考查分段函数在分界点的连续性与等价无穷小替换。 连续要求左极限、右极限与函数值三者相等：$f(0^{-})=f(0)=f(0^{+})$。

当 $x\le 0$ 时 $f(x)=b$，故 $f(0)=f(0^{-})=b$。

当 $x\to 0^{+}$，用等价无穷小 $1-\cos \sqrt{x}\sim \frac{(\sqrt{x}{)}^2}{2}=\frac{x}{2}$，得
$$f(0^{+})=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-\cos \sqrt{x}}{ax}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x/2}{ax}=\frac{1}{2a}.$$

由连续性 $b=\frac{1}{2a}$，即 $ab=\frac{1}{2}$。故应选 A。