2012 年考研数学（二） 第 22 题

先用行列式为零圈定候选 $a$（$a^4=1$ 的实解只有 $\pm 1$），再对每个候选检验 $r(\mathbf{A})$ 与 $r(\mathbf{A}\mid \mathbf{\beta })$ 是否相等——这是「有无穷多解」的判据。$a=1$ 时不相容被淘汰，只有 $a=-1$ 保留。求通解走标准套路：化行最简形、读出自由未知量、写「齐次基础解系 $\times$ 参数 + 一个特解」。可回代验证 $\mathbf{A}(1,1,1,1{)}^T=0$、$\mathbf{A}(0,-1,0,0{)}^T=\mathbf{\beta }$。

本题考查行列式按行（列）展开与非齐次线性方程组解的判定及通解求法。

（I）计算 $|\mathbf{A}|$。 按第一列展开，第一列非零元为 $(1,1)$ 处的 $1$ 与 $(4,1)$ 处的 $a$：
$$|\mathbf{A}|=1\cdot M_{11}-a\cdot M_{41},$$
其中 $(4,1)$ 位置符号为 $(-1{)}^{4+1}=-1$。而
$$M_{11}=\left|\begin{array}{ccc}1& a& 0\\ 0& 1& a\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=1,M_{41}=\left|\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 1& a& 0\\ 0& 1& a\end{array}\right|=a^3.$$
故 $|\mathbf{A}|=1-a\cdot a^3=1-a^4$。

（II）定 $a$。 方程组有无穷多解的必要条件是 $|\mathbf{A}|=0$，即 $a^4=1$，实数解为 $a=1$ 或 $a=-1$。

当 $a=1$ 时，对增广矩阵作行变换可得 $r(\mathbf{A})=3$ 而 $r(\mathbf{A}\mid \mathbf{\beta })=4$，$r(\mathbf{A})\ne r(\mathbf{A}\mid \mathbf{\beta })$，方程组无解。

当 $a=-1$ 时，
$$(\mathbf{A}\mid \mathbf{\beta })=\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& 0& 1\\ 0& 1& -1& 0& -1\\ 0& 0& 1& -1& 0\\ -1& 0& 0& 1& 0\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& -1& -1\\ 0& 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$
$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A}\mid \mathbf{\beta })=3<4$，故有无穷多解。同解方程为 $x_1=x_4,x_2=x_4-1,x_3=x_4$。取自由未知量 $x_4=k$，得通解
$$\mathbf{x}=k\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\\ 0\end{array}\right)(k\text{ 为任意常数}).$$
综上，仅当 $a=-1$ 时方程组有无穷多解。