2012 年考研数学（二） 第 21 题

「先证根存在唯一，再证根组成的数列收敛」是经典组合题。第一问用零点定理（端点异号）+ 单调性（导数恒正）打包存在唯一。第二问的关键技巧是把 $f_{n+1}$ 作用在上一项的根 $x_n$ 上：$f_{n+1}(x_n)=x_n^{n+1}+f_n(x_n)=x_n^{n+1}>0$，据单调性立得 $x_{n+1}<x_n$，从而单调有界收敛。求极限时对等比求和式取极限，因 $A<1$ 使 $x_n^n\to 0$，解 $\frac{A}{1-A}=1$ 得 $\frac{1}{2}$。

本题考查零点定理证明根的存在唯一性，以及单调有界准则求数列极限。

（I）存在唯一性。 令 $f_n(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots +x-1$，在 $\left[\frac{1}{2},1\right]$ 上连续。由等比求和
$$f_n\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)}{1-\frac{1}{2}}-1=\left(1-\frac{1}{2^n}\right)-1=-\frac{1}{2^n}<0,$$
$$f_n(1)=\underset{n}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}-1=n-1>0.$$
由零点定理，存在 $x_n\in \left(\frac{1}{2},1\right)$ 使 $f_n(x_n)=0$。又 $f_n^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}+(n-1)x^{n-2}+\cdots +1>0$（$x>0$），$f_n$ 严格单调增，故零点唯一。即方程在 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 内有且仅有一个实根 $x_n$。

（II）极限存在。 由 $x_n\in \left(\frac{1}{2},1\right)$ 知 $\{x_n\}$ 有界。比较 $x_n$ 与 $x_{n+1}$：在 $x_n$ 处
$$f_{n+1}(x_n)=x_n^{n+1}+(x_n^n+\cdots +x_n)-1=x_n^{n+1}+f_n(x_n)=x_n^{n+1}>0=f_{n+1}(x_{n+1}).$$
因 $f_{n+1}$ 单调增，故 $x_n>x_{n+1}$，即 $\{x_n\}$ 单调减少。由单调有界准则，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$ 存在（$\frac{1}{2}\le A<1$）。

求极限值。 由等比求和，$x_n$ 满足
$$x_n+x_n^2+\cdots +x_n^n=\frac{x_n(1-x_n^n)}{1-x_n}=1.$$
因 $\frac{1}{2}\le x_n<1$ 且 $x_n\to A<1$，故 $x_n^n\to 0$。两端取极限得 $\frac{A}{1-A}=1$，解得 $A=\frac{1}{2}$。故 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\frac{1}{2}$。