2012 年考研数学（二） 第 20 题

证函数不等式的主线：作差构造 $f$，证其在区间上非负。本题 $f^{\prime }$ 直接判号不易，于是再求一次导——$f^{\prime \prime }(x)=\frac{4}{(1-x^2{)}^2}-1-\cos x$ 在 $(-1,1)$ 上有 $\frac{4}{(1-x^2{)}^2}\ge 4$、$1+\cos x\le 2$，故 $f^{\prime \prime }>0$，说明 $f^{\prime }$ 单调增。再抓住「对称中心」$x=0$ 处 $f^{\prime }(0)=0$，判定它是最小值点，且 $f(0)=0$，从而全区间 $f\ge 0$。（$f$ 其实是偶函数，最小值落在 $x=0$ 也在情理之中。）

本题考查用单调性（借助二阶导数）证明函数不等式。

构造辅助函数。 令
$$f(x)=x\ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x-\frac{x^2}{2}-1,-1<x<1,$$
只需证 $f(x)\ge 0$。

求导。
$$f^{\prime }(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{2x}{1-x^2}-\sin x-x,$$
$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{1-x^2}+\frac{2(1+x^2)}{(1-x^2{)}^2}-\cos x-1=\frac{4}{(1-x^2{)}^2}-1-\cos x.$$
（其中用到 $\frac{d}{dx}\ln \frac{1+x}{1-x}=\frac{2}{1-x^2}$，$\frac{d}{dx}\frac{2x}{1-x^2}=\frac{2(1+x^2)}{(1-x^2{)}^2}$。）

判 $f^{\prime \prime }$ 符号。 当 $-1<x<1$ 时，$0<1-x^2\le 1$，故 $(1-x^2{)}^2\le 1$，$\frac{4}{(1-x^2{)}^2}\ge 4$；又 $1+\cos x\le 2$。因此
$$f^{\prime \prime }(x)\ge 4-2=2>0,$$
即 $f^{\prime }(x)$ 在 $(-1,1)$ 上单调增加。

定最小值。 注意 $f^{\prime }(0)=\ln 1+0-0-0=0$，结合 $f^{\prime }$ 单调增可知：$-1<x<0$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$0<x<1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$。故 $x=0$ 是 $f$ 在 $(-1,1)$ 上的最小值点，而 $f(0)=0+\cos 0-0-1=0$。于是对一切 $-1<x<1$ 有 $f(x)\ge f(0)=0$，即
$$x\ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x\ge 1+\frac{x^2}{2}.$$
证毕。