2012 年考研数学（二） 第 19 题

第一问的巧点是「两式相减降阶」：两个二阶方程一减，$f^{\prime \prime }$ 消掉，立刻变成一阶线性方程，比硬解二阶特征方程快得多。第二问 $y=e^{x^2}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$ 里，$e^{x^2}\cdot e^{-x^2}=1$ 使 $y^{\prime }$ 出现常数项 $1$；判拐点只需看 $y^{\prime \prime }$ 变号——注意变限积分 ${\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$ 是奇函数，与 $2x$ 同号，故 $y^{\prime \prime }$ 在 $x=0$ 恰好变号，$(0,0)$ 即拐点。

本题考查由方程组确定函数 $f$，以及含变限积分的曲线拐点判定。

（I）求 $f(x)$。 两方程相减：$(f^{\prime \prime }+f^{\prime }-2f)-(f^{\prime \prime }+f)=0-2e^x$，得一阶线性方程
$$f^{\prime }(x)-3f(x)=-2e^x.$$
其通解为 $f(x)=C{e}^{3x}+e^x$（对应齐次解 $C{e}^{3x}$，特解设 $A{e}^x$ 代入得 $A=1$）。

将 $f(x)=C{e}^{3x}+e^x$ 代回 $f^{\prime \prime }(x)+f(x)=2e^x$：$f^{\prime \prime }=9C{e}^{3x}+e^x$，$f^{\prime \prime }+f=10C{e}^{3x}+2e^x=2e^x$，得 $C=0$。故 $f(x)=e^x$（可验证它同时满足两方程）。

（II）求拐点。 由 $f(x)=e^x$，有 $f(x^2)=e^{x^2}$，$f(-t^2)=e^{-t^2}$，故
$$y=e^{x^2}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt.$$
求导（注意变限积分求导 $\frac{d}{dx}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt=e^{-x^2}$）：
$$y^{\prime }=2x{e}^{x^2}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt+e^{x^2}\cdot e^{-x^2}=2x{e}^{x^2}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt+1.$$

再求二阶导：
$$y^{\prime \prime }=2(1+2x^2)e^{x^2}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt+2x.$$
当 $x<0$ 时 ${\int }_0^x{e}^{-t^2}dt<0$ 且 $2x<0$，故 $y^{\prime \prime }<0$；当 $x>0$ 时二者均正，$y^{\prime \prime }>0$。$y^{\prime \prime }$ 在 $x=0$ 处变号，且 $y(0)=e^0\cdot 0=0$，故曲线的拐点为 $(0,0)$。