2012 年考研数学（二） 第 18 题

极坐标给定的心形区域，几乎一定在极坐标里算。$xy=r^2\sin \theta \cos \theta$ 加上 Jacobian 的 $r$，对 $r$ 积分出 $(1+\cos \theta {)}^4/4$。对 $\theta$ 积分时看到 $(1+\cos \theta {)}^4\sin \theta$，果断令 $t=\cos \theta$；换元后区间变成对称的 $[-1,1]$，用奇偶性直接扔掉奇次项，只算 $t^2,t^4$ 两项，干净利落得 $\frac{16}{15}$。

本题考查极坐标下二重积分的计算（区域为心形线的一半）。

在极坐标下 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，$d\sigma =rdrd\theta$。区域 $D$：$0\le \theta \le \pi$，$0\le r\le 1+\cos \theta$。于是
$${\iint }_{D}xyd\sigma ={\int }_0^{\pi }{\int }_0^{1+\cos \theta }(r\cos \theta )(r\sin \theta )rdrd\theta ={\int }_0^{\pi }\cos \theta \sin \theta \left({\int }_0^{1+\cos \theta }{r}^{3}dr\right)d\theta .$$

内层积分 ${\int }_0^{1+\cos \theta }{r}^{3}dr=\frac{(1+\cos \theta {)}^4}{4}$，故
$${\iint }_{D}xyd\sigma =\frac{1}{4}{\int }_0^{\pi }(1+\cos \theta {)}^4\sin \theta \cos \theta d\theta .$$

令 $t=\cos \theta$，$dt=-\sin \theta d\theta$，$\theta :0\to \pi$ 对应 $t:1\to -1$：
$$=\frac{1}{4}{\int }_{-1}^{1}t(1+t{)}^{4}dt.$$
展开 $(1+t{)}^4=1+4t+6t^2+4t^3+t^4$，乘以 $t$ 后在对称区间 $[-1,1]$ 上奇次项（$t,6t^3,t^5$）积分为 $0$，只剩偶次项：
$$=\frac{1}{4}{\int }_{-1}^1(4t^2+4t^4)dt=\frac{1}{4}\cdot 2{\int }_0^1(4t^2+4t^4)dt=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}+\frac{4}{5}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{32}{15}=\frac{16}{15}.$$