2012 年考研数学（二） 第 17 题

先靠「切线过定点」这一条件解出切点（斜率 $1/a$、代入 $(0,1)$），把 $L$ 与 $x$ 轴交点当作弦的另一端。面积与体积都用「曲线部分减弦（直线）部分」：$\ln x$ 是凹函数、位于弦上方，故被夹区域的面积/体积等于两者对应积分之差。体积里弦绕 $x$ 轴恰是一个圆锥，可直接套 $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$，省去积分。$\int \ln xdx$ 与 $\int {\ln }^{2}xdx$ 用分部积分。

本题考查切线的求法、平面图形面积与旋转体体积（定积分几何应用）。

求切点 $A$ 与交点 $B$。 设切点 $A(a,\ln a)$，切线斜率为 $\frac{1}{a}$，切线方程 $y-\ln a=\frac{1}{a}(x-a)$。它过点 $(0,1)$：$1-\ln a=\frac{1}{a}(0-a)=-1$，得 $\ln a=2$，$a=e^2$，故 $A(e^2,2)$。曲线 $L:y=\ln x$ 与 $x$ 轴交于 $\ln x=0$，即 $B(1,0)$。直线 $AB$ 的斜率 $\frac{2-0}{e^2-1}$，方程 $y=\frac{2}{e^2-1}(x-1)$。

求面积。 因 $y=\ln x$ 为凹（上凸）函数，曲线 $L$ 位于弦 $AB$ 上方，$D$ 在 $x\in [1,e^2]$ 上介于曲线与弦之间：
$$S={\int }_1^{e^2}\ln xdx-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (e^2-1).$$
其中 ${\int }_1^{e^2}\ln xdx=[x\ln x-x{]}_1^{e^2}=(2e^2-e^2)-(0-1)=e^2+1$，而三角形（底 $e^2-1$、高 $2$）面积为 $e^2-1$。故 $S=(e^2+1)-(e^2-1)=2$。

求体积。 绕 $x$ 轴旋转，用大立体（曲线绕转）减小立体（弦绕转，即圆锥）：
$$V=\pi {\int }_1^{e^2}(\ln x{)}^{2}dx-\frac{\pi }{3}\cdot 2^2\cdot (e^2-1).$$
其中 ${\int }_1^{e^2}{\ln }^{2}xdx=[x{\ln }^{2}x-2x\ln x+2x{]}_1^{e^2}=(2e^2-2)$，圆锥（底半径 $2$、高 $e^2-1$）体积 $\frac{4\pi }{3}(e^2-1)$。

故
$$V=2\pi (e^2-1)-\frac{4\pi }{3}(e^2-1)=(2-\frac{4}{3})\pi (e^2-1)=\frac{2\pi }{3}(e^2-1).$$