2012 年考研数学（二） 第 16 题

二元极值标准流程：偏导置零求驻点，再用二阶判别式 $AC-B^2$ 定性。这里指数因子 $e^{-(x^2+y^2)/2}$ 恒正，可提出来只看多项式系数，令方程组变简单。两个驻点关于原点对称，$AC-B^2$ 都为正，靠 $A=f_{xx}$ 的符号区分：$A<0$ 极大、$A>0$ 极小，正好给出一对相反的极值。

本题考查二元函数无条件极值：求驻点 + 二阶判别（$AC-B^2$ 法）。

求驻点。 记 $g=e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}>0$。
$$f_x=(1-x^2)g=0,f_y=-xyg=0.$$
由 $f_x=0$ 得 $x^2=1$，即 $x=\pm 1$（$x\ne 0$）；代入 $f_y=-xyg=0$ 得 $y=0$。故驻点为 $(1,0)$ 与 $(-1,0)$。

二阶偏导。
$$f_{xx}=x(x^2-3)g,f_{xy}=y(x^2-1)g,f_{yy}=x(y^2-1)g.$$

在 $(1,0)$： $A=f_{xx}=1\cdot (1-3)e^{-1/2}=-2e^{-1/2}$，$B=f_{xy}=0$，$C=f_{yy}=1\cdot (0-1)e^{-1/2}=-e^{-1/2}$。$AC-B^2=2e^{-1}>0$ 且 $A<0$，故 $(1,0)$ 为极大值点，极大值 $f(1,0)=e^{-1/2}$。

在 $(-1,0)$： $A=f_{xx}=(-1)(1-3)e^{-1/2}=2e^{-1/2}$，$B=0$，$C=f_{yy}=(-1)(0-1)e^{-1/2}=e^{-1/2}$。$AC-B^2=2e^{-1}>0$ 且 $A>0$，故 $(-1,0)$ 为极小值点，极小值 $f(-1,0)=-e^{-1/2}$。