2012 年考研数学（二） 第 15 题

「同阶无穷小求 $k$」本质是问 $f(x)-a$ 是几阶无穷小。策略是通分成一个分式，分子分母各自用麦克劳林展开定阶。这里分子的主项来自 $x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}$（三阶），分母 $x\sin x\sim x^2$（二阶），相除得一阶，故 $k=1$。展开时保留到能出现首个非零项的阶即可。

本题考查极限计算与无穷小的阶的比较（麦克劳林展开）。

（I）求 $a$。 把 $f(x)$ 拆开：
$$f(x)=\frac{1+x}{\sin x}-\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)+\frac{x}{\sin x}.$$
其中 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin x}=1$；而
$$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{2x}=0.$$
故 $a=0+1=1$。

（II）求 $k$。 通分
$$f(x)-a=\frac{1+x}{\sin x}-\frac{1}{x}-1=\frac{x+x^2-\sin x-x\sin x}{x\sin x}.$$

用麦克劳林公式 $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，则 $x\sin x=x^2-\frac{x^4}{6}+o(x^4)$。分子
$$x+x^2-\sin x-x\sin x=x+x^2-(x-\frac{x^3}{6})-(x^2-\frac{x^4}{6})+o(x^3)=\frac{x^3}{6}+o(x^3)\sim \frac{x^3}{6}.$$
分母 $x\sin x\sim x^2$，故
$$f(x)-a\sim \frac{x^3/6}{x^2}=\frac{1}{6}x.$$

即 $f(x)-a$ 是 $x$ 的一阶无穷小，与 $x^k$ 同阶要求 $k=1$。