2012 年考研数学（二） 第 14 题

这类题拆成三块小公式即可：行变换对行列式的影响（交换两行变号）、伴随矩阵的行列式 $|{\mathbf{A}}^{\ast }|=|\mathbf{A}{|}^{n-1}$（三阶就是平方）、以及 $|\mathbf{B}{\mathbf{A}}^{\ast }|=|\mathbf{B}||{\mathbf{A}}^{\ast }|$。最容易错的是把 $|{\mathbf{A}}^{\ast }|$ 写成 $|\mathbf{A}|$ 或忘掉交换行的负号。

本题考查行列式的性质、伴随矩阵行列式公式与乘积行列式。 分别求出 $|\mathbf{B}|$ 与 $|{\mathbf{A}}^{\ast }|$ 再相乘。

求 $|\mathbf{B}|$： 交换两行使行列式变号，故 $|\mathbf{B}|=-|\mathbf{A}|=-3$。

求 $|{\mathbf{A}}^{\ast }|$： 对 $n$ 阶矩阵有 $|{\mathbf{A}}^{\ast }|=|\mathbf{A}{|}^{n-1}$。这里 $n=3$，故 $|{\mathbf{A}}^{\ast }|=|\mathbf{A}{|}^2=3^2=9$。

求乘积： $|\mathbf{B}{\mathbf{A}}^{\ast }|=|\mathbf{B}|\cdot |{\mathbf{A}}^{\ast }|=(-3)\times 9=-27$。