2012 年考研数学（二） 第 13 题

曲率题就是把 $y^{\prime },y^{\prime \prime }$ 代入公式后解方程。技巧在化简指数：等式 $[\cdot {]}^{3/2}=2\sqrt{2}$ 要认出右边 $2\sqrt{2}=2^{3/2}$，于是两边 $3/2$ 次方的底相等，化为普通二次方程。最后别忘用题设定义域 $x<0$ 筛掉增根 $x=0$。

本题考查曲率公式与解方程定点。 曲率 $\kappa =\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$。

由 $y=x^2+x$ 得 $y^{\prime }=2x+1$，$y^{\prime \prime }=2$，故
$$\kappa =\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}=\frac{2}{{\left[1+(2x+1{)}^2\right]}^{3/2}}.$$

令 $\frac{2}{{\left[1+(2x+1{)}^2\right]}^{3/2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即 ${\left[1+(2x+1{)}^2\right]}^{3/2}=\frac{2}{\sqrt{2}/2}=2\sqrt{2}=2^{3/2}$。两端取 $2/3$ 次幂得 $1+(2x+1{)}^2=2$，故 $(2x+1{)}^2=1$，$2x+1=\pm 1$，解得 $x=0$ 或 $x=-1$。

因限定 $x<0$，取 $x=-1$，此时 $y=(-1{)}^2+(-1)=0$。所求点为 $(-1,0)$。