2012 年考研数学（二） 第 12 题

遇到 $ydx+(\cdots )dy=0$ 且对 $y$ 求解别扭时，交换自变量把 $x$ 当未知函数往往一步化成一阶线性。更快的是「凑全微分」：认出 $ydx+xdy=d(xy)$，整方程变成 $d(xy-y^3)=0$，直接得隐式通解 $xy-y^3=C$。最后用初始条件定常数，并按初值符号选根。

本题考查一阶微分方程求解。 若把 $y$ 当自变量、$x$ 当未知函数，方程即为一阶线性方程（也可用凑全微分法）。

方法一（一阶线性）： 由 $ydx+(x-3y^2)dy=0$ 得 $\frac{dx}{dy}+\frac{x}{y}=3y$。积分因子 $e^{\int \frac{1}{y}dy}=y$，两端乘 $y$：$\frac{d(xy)}{dy}=3y^2$，积分得 $xy=y^3+C$，即 $x=y^2+\frac{C}{y}$。

方法二（凑全微分）： $ydx+xdy-3y^{2}dy=0$，即 $d(xy)-d(y^3)=0$，故 $xy-y^3=C$。

代入初值定常数： 由 $x=1$ 时 $y=1$，得 $1\cdot 1-1=C\Rightarrow C=0$。于是 $xy-y^3=0$，$y\ne 0$ 时 $x=y^2$。又 $y{|}_{x=1}=1>0$，取正根，故 $y=\sqrt{x}$。