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2012 年考研数学（二）第 11 题

填空题 · 4 分

设

z = f (ln x + \frac{1}{y})

，其中函数

f (u)

可微，则

x \frac{\partial z}{\partial x} + y^{2} \frac{\partial z}{\partial y} =

___。

提示 1

设

u = ln x + \frac{1}{y}

，则

z = f (u)

，用链式法则。

提示 2

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{x}

，

\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{1}{y ^{2}}

。

提示 3

代入后

x \cdot \frac{f ^{'}}{x}

与

y^{2} \cdot (- \frac{f ^{'}}{y ^{2}})

恰好相消。

答案与详解

答案 $0$

思路（为什么这么做）

外层是抽象一元函数

f

、内层是二元表达式时，所有偏导都带公因子

f^{'} (u)

。本题特意让系数

x

与

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{x}

、系数

y^{2}

与

\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{1}{y ^{2}}

互相约掉，最后

f^{'} (u)

一正一负抵消得

0

——这类「凑系数消去

f^{'}

」是偏导恒等式题的常见设计。

解答

本题考查多元复合函数（外层为一元 $f$ ）的偏导数。 令中间变量

u = ln x + \frac{1}{y}

，用链式法则分别求偏导。

\frac{\partial z}{\partial x} = f^{'} (u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = f^{'} (u) \cdot \frac{1}{x}, \frac{\partial z}{\partial y} = f^{'} (u) \cdot \frac{\partial u}{\partial y} = f^{'} (u) \cdot (- \frac{1}{y ^{2}}) .

代入所求表达式：

x \frac{\partial z}{\partial x} + y^{2} \frac{\partial z}{\partial y} = x \cdot \frac{f ^{'} ( u )}{x} + y^{2} \cdot (- \frac{f ^{'} ( u )}{y ^{2}}) = f^{'} (u) - f^{'} (u) = 0.

考点：多元复合函数求导法则、偏导数

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