2012 年考研数学（二） 第 10 题

求「$n$ 项之和再取极限」，若各项分子次数一致、分母次数一致且分母比分子高一次，优先用定积分定义。关键是把和式变形为 $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$：这里提出 $\frac{1}{n}$ 后剩 $\frac{1}{1+(k/n{)}^2}$，对应被积函数 $\frac{1}{1+x^2}$，积出 $\arctan$，代 $[0,1]$ 得 $\frac{\pi }{4}$。

本题考查利用定积分定义求 $n$ 项和的极限。 目标是把和式凑成 $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ 的形式。

一般项为 $\frac{n}{k^2+n^2}$（$k=1,2,\cdots ,n$）。分子分母同除以 $n^2$：
$$\frac{n}{k^2+n^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{{\left(\frac{k}{n}\right)}^2+1}.$$

于是原极限
$$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}={\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x{|}_0^1=\frac{\pi }{4}.$$