2012 年考研数学（二） 第 9 题

隐函数「某点的高阶导数」问题不需要解出 $y(x)$，走「代点求 $y$ → 求导代点得 $y^{\prime }$ → 再求导代点得 $y^{\prime \prime }$」三步即可。每一步都在等式两端对 $x$ 求导（把 $y$ 当 $x$ 的函数、$e^y$ 用链式法则），然后立刻代入已求得的数值，避免符号越滚越复杂。

本题考查由方程确定的隐函数求二阶导数（在指定点取值）。 先定出该点的 $y$ 值，再逐阶对 $x$ 求导代入。

求 $y(0)$： 令 $x=0$，方程变为 $-y+1=e^y$，即 $1-y=e^y$，观察得 $y=0$（因 $1-0=1=e^0$）。

求一阶导： 方程两端对 $x$ 求导：$2x-y^{\prime }=e^y{y}^{\prime }$。代入 $x=0,y=0$：$-y^{\prime }=y^{\prime }$，得 $y^{\prime }(0)=0$。

求二阶导： 对 $2x-y^{\prime }=e^y{y}^{\prime }$ 再对 $x$ 求导：$2-y^{\prime \prime }=e^y(y^{\prime }{)}^2+e^y{y}^{\prime \prime }$。代入 $x=0,y=0,y^{\prime }=0$：$2-y^{\prime \prime }=y^{\prime \prime }$，故 $y^{\prime \prime }(0)=1$。