2012 年考研数学（二） 第 8 题

对 $\mathbf{P}$ 的列做一次初等变换得到 $\mathbf{Q}$，等价于右乘初等矩阵 $\mathbf{Q}=\mathbf{P}\mathbf{M}$，于是 ${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q}={\mathbf{M}}^{-1}\mathbf{\Lambda }\mathbf{M}$。这里的巧劲是：$\mathbf{\Lambda }$ 恰好在被混合的两个方向（第 1、2 列）上特征值相同（都是 $1$），单位块对任何可逆变换都相似不变，所以结果与 $\mathbf{\Lambda }$ 完全一样。若被混合的是特征值不同的两列，答案就会改变。

本题考查相似变换与列的初等变换（初等矩阵）的关系。 把 $\mathbf{Q}$ 用 $\mathbf{P}$ 右乘一个初等矩阵表示即可。

记 $\mathbf{M}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，则 $\mathbf{Q}=\mathbf{P}\mathbf{M}$。这是因为 $\mathbf{Q}$ 的第一列 ${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2=\mathbf{P}(1,1,0{)}^T$，第二、三列与 $\mathbf{P}$ 相同。

于是
$${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q}={\mathbf{M}}^{-1}{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}\mathbf{M}={\mathbf{M}}^{-1}\mathbf{\Lambda }\mathbf{M},\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$

由 ${\mathbf{M}}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ 直接计算，或注意 $\mathbf{\Lambda }$ 在前两个坐标上都是特征值 $1$（该 $2\times 2$ 块为单位阵），$\mathbf{M}$ 只在前两坐标间混合，故 ${\mathbf{M}}^{-1}\mathbf{\Lambda }\mathbf{M}$ 前两坐标块仍为单位阵，第三坐标保持 $2$：
$${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$
故应选 B。