2012 年考研数学（二） 第 7 题

本题四个向量的第三分量都是「任意常数」，说明相关性只能由前两个分量决定。${\mathbf{\alpha }}_1$ 前两分量为 $(0,0)$，${\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 的前两分量互为相反 $(1,-1)$ 与 $(-1,1)$——三者的前两分量张不成二维空间，故无论 $c_i$ 取何值，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 恒线性相关。其余组合的行列式含 $c_1$ 或 $c_3+c_4$，不恒为零，可排除。

本题考查三维向量组线性相关的判定。 三个三维向量线性相关 $\iff$ 由它们作列构成的行列式为 $0$（对任意 $c_i$ 恒成立才是本题所求）。

观察法（选项 C）： ${\mathbf{\alpha }}_3+{\mathbf{\alpha }}_4=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ c_3+c_4\end{array}\right)$，与 ${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ c_1\end{array}\right)$ 都只有第三分量可能非零，二者成比例（共线）。故 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 之间存在非平凡线性关系，线性相关。

行列式验证： $|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4|=\left|\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ c_1& c_3& c_4\end{array}\right|$，前两行 $(1,-1)$ 与 $(-1,1)$ 成比例（其实是相反数），行列式为 $0$，与 $c_i$ 无关，恒线性相关。

排除其它选项： $|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3|=-c_1$，$|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_4|=c_1$，$|{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4|=-(c_3+c_4)$，它们仅在特定 $c_i$ 时才为 $0$，并非恒相关。故只有 C 对任意常数都线性相关，应选 C。