2012 年考研数学（二） 第 6 题

看到二重积分被积函数里有「对某变量为奇函数」的项，第一反应就是查区域是否关于对应坐标轴对称——若对称，该项直接积成 $0$，能省掉大量计算。本题 $x{y}^5$ 对 $x$ 奇、$D$ 对 $y$ 轴对称，故只剩常数 $-1$ 的积分，等于 $-S(D)$；再算面积 ${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}(1-\sin x)dx=\pi$（$\sin x$ 这部分也因奇对称在积分中不贡献）。

本题考查二重积分的对称性（奇偶性）与面积计算。 先把区域写清楚，再用对称性消去奇函数部分。

区域 $D=\left\{(x,y)|-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2},\sin x\le y\le 1\right\}$，它关于 $y$ 轴对称。

把积分拆成两部分。被积函数中 $x{y}^5$ 关于 $x$ 是奇函数（$y$ 视为参数），而 $D$ 关于 $y$ 轴对称，故
$${\iint }_{D}x{y}^{5}dxdy=0.$$

于是
$${\iint }_D(x{y}^5-1)dxdy={\iint }_D(-1)dxdy=-S(D).$$
面积 $S(D)={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}(1-\sin x)dx=[x+\cos x{]}_{-\pi /2}^{\pi /2}=(\frac{\pi }{2}+0)-(-\frac{\pi }{2}+0)=\pi .$
因此原积分 $=-\pi$，应选 D。