2012 年考研数学（二） 第 5 题

多元「单调性」题的通用技巧是用一个中间点搭桥：先只改 $x$、再只改 $y$，每一步用对应偏导的符号定方向。要让 $f$ 增大，就顺着 $\partial f/\partial x>0$ 让 $x$ 增大、顺着 $\partial f/\partial y<0$ 让 $y$ 减小，即 $x_1<x_2$ 且 $y_1>y_2$。

本题考查偏导数符号的几何意义（关于各变量的单调性）。 把偏导正负翻译成「固定一个变量时对另一变量单调」。

$\frac{\partial f}{\partial x}>0$ 表示固定 $y$ 时 $f$ 关于 $x$ 单调增加；$\frac{\partial f}{\partial y}<0$ 表示固定 $x$ 时 $f$ 关于 $y$ 单调减少。

要保证 $f(x_1,y_1)<f(x_2,y_2)$，令 $x_1<x_2$ 且 $y_1>y_2$，作「中转」比较：
$$f(x_1,y_1)<f(x_2,y_1)(\text{关于 }x\text{ 增：}{x}_1<x_2),$$
$$f(x_2,y_1)<f(x_2,y_2)(\text{关于 }y\text{ 减：}{y}_1>y_2).$$

于是 $f(x_1,y_1)<f(x_2,y_1)<f(x_2,y_2)$，不等式成立。故充分条件为 $x_1<x_2,y_1>y_2$，应选 D。