2012 年考研数学（二） 第 4 题

被积函数 $e^{x^2}\sin x$ 无法初等积分，所以别去硬算，而是用「相邻积分之差 = 一个 $\pi$ 区间上的积分」，靠 $\sin x$ 的符号定增减。难点在 $I_1$ 与 $I_3$ 的比较：用平移 $x\to x+\pi$ 把两个相邻区间对齐，利用 $e^{x^2}$ 随 $x$ 增大而剧增，正区间的贡献远压过前一个负区间，从而 $I_3>I_1$。

本题考查定积分的符号判定与区间可加性比较。 关键是用 $\sin x$ 在各 $\pi$ 区间上的符号判断增量正负。

比较 $I_1,I_2$： $I_2-I_1={\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{x^2}\sin xdx$，在 $(\pi ,2\pi )$ 上 $\sin x<0$，$e^{x^2}>0$，故 $I_2-I_1<0$，即 $I_2<I_1$。

比较 $I_2,I_3$： $I_3-I_2={\int }_{2\pi }^{3\pi }{e}^{x^2}\sin xdx$，在 $(2\pi ,3\pi )$ 上 $\sin x>0$，故 $I_3-I_2>0$，即 $I_2<I_3$。

比较 $I_1,I_3$： $I_3-I_1={\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{x^2}\sin xdx+{\int }_{2\pi }^{3\pi }{e}^{x^2}\sin xdx$。对后一积分令 $x=t+\pi$（$t\in (\pi ,2\pi )$，$\sin (t+\pi )=-\sin t$）得 ${\int }_{2\pi }^{3\pi }{e}^{x^2}\sin xdx=-{\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{(t+\pi {)}^2}\sin tdt$，于是
$$I_3-I_1={\int }_{\pi }^{2\pi }[e^{x^2}-e^{(x+\pi {)}^2}]\sin xdx.$$
在 $(\pi ,2\pi )$ 上 $\sin x<0$，且 $(x+\pi {)}^2>x^2$ 使 $e^{x^2}-e^{(x+\pi {)}^2}<0$，两负相乘被积函数为正，故 $I_3-I_1>0$，即 $I_1<I_3$。

综合三条：$I_2<I_1<I_3$，故应选 D。数值上亦可验证 $I_1\approx 570$，$I_2\approx -9.1\times 10^{14}$，$I_3\approx 1.1\times 10^{36}$，符号与大小一致。