2012 年考研数学（二） 第 3 题

判断充要关系要「两个方向各走一遍」。正方向借助 $a_n>0$ 造出 $\{S_n\}$ 单调，配合有界即得极限存在，再由 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 推出 $a_n\to 0$（收敛）。反方向只要一个反例即可否定：常数列 $a_n=2$ 收敛，但部分和 $S_n=2n$ 发散无界。一正一反，得「充分非必要」。

本题考查数列收敛、单调有界准则以及充分必要条件的判定。 分「充分性」「必要性」两方向讨论。

充分性（$\{S_n\}$ 有界 $\Rightarrow \{a_n\}$ 收敛）成立： 因 $a_n>0$，故 $S_n=S_{n-1}+a_n>S_{n-1}$，即 $\{S_n\}$ 单调增加。若 $\{S_n\}$ 又有界，由单调有界准则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S$ 存在，于是 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }(S_n-S_{n-1})=S-S=0$，故 $\{a_n\}$ 收敛。

必要性（$\{a_n\}$ 收敛 $\Rightarrow \{S_n\}$ 有界）不成立： 取反例 $a_n=2$，则 $\{a_n\}$ 收敛（收敛于 $2$），但 $S_n=2n\to +\infty$，$\{S_n\}$ 无界。

故「$\{S_n\}$ 有界」是「$\{a_n\}$ 收敛」的充分非必要条件，应选 B。