2012 年考研数学（二） 第 2 题

多个因子相乘在某点求导，若其中一个因子在该点为零，用导数定义（而非逐项乘积求导法则）最省力：只有「取零的那个因子的导数」那一项存活，其它项都乘了零。这里把 $\frac{e^x-1}{x}\to 1$ 拆出，剩下的因子代入 $x=0$ 得 $(1-2)(1-3)\cdots (1-n)$，$n-1$ 个负号给出 $(-1{)}^{n-1}$，绝对值是 $(n-1)!$。

本题考查导数的定义。 注意到第一个因子 $e^x-1$ 在 $x=0$ 处为 $0$，用导数定义最简洁。

先看 $f(0)$：因 $e^0-1=0$，故 $f(0)=0$。由导数定义
$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}\cdot (e^{2x}-2)(e^{3x}-3)\cdots (e^{nx}-n).$$

其中 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$，其余因子直接代入 $x=0$：
$$(e^0-2)(e^0-3)\cdots (e^0-n)=(1-2)(1-3)\cdots (1-n).$$

该乘积共有 $n-1$ 个因子，依次为 $-1,-2,\cdots ,-(n-1)$，故
$$f^{\prime }(0)=(-1)(-2)\cdots (-(n-1))=(-1{)}^{n-1}(n-1)!.$$
故应选 A。