2012 年考研数学（二） 第 1 题

渐近线计数题的最大陷阱是「分母为零就当铅直渐近线」。正确做法是：分母每个零点都算一次极限，只有极限为 $\infty$ 的才是铅直渐近线；本题 $x=-1$ 因分子也含 $(x+1)$ 而被约去，极限为有限值 $\frac{1}{2}$，不算。再补上 $x\to \infty$ 的水平渐近线 $y=1$，同次多项式无斜渐近线，故恰好 2 条。

本题考查曲线渐近线（水平、铅直、斜）的判定与计数。 关键是分母的每个零点都要单独检验是否真为铅直渐近线。

分子分母因式分解：$\frac{x^2+x}{x^2-1}=\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x}{x-1}(x\ne -1)$，即 $x=-1$ 是可去间断点。

水平渐近线： $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+x}{x^2-1}=1$，故 $y=1$ 是水平渐近线。

铅直渐近线： 在 $x=1$ 处 $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+x}{x^2-1}=\infty$，故 $x=1$ 是铅直渐近线；在 $x=-1$ 处 $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+x}{x^2-1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x}{x-1}=\frac{1}{2}$ 为有限值，故 $x=-1$ 不是铅直渐近线。

斜渐近线： 分子分母同为二次，$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=0$，无斜渐近线。综上共有 $y=1$ 与 $x=1$ 两条渐近线，故应选 C。