2012 年考研数学（二） 第 23 题

第一问的关键性质是 $r({\mathbf{A}}^T\mathbf{A})=r(\mathbf{A})$——不必先乘出 ${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$ 再降秩，直接对 $\mathbf{A}$ 行化简，令使秩下降的那个因子 $a+1=0$，一步得 $a=-1$，运算量大减。第二问是正交对角化标准流程：${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$ 对称，求特征值、特征向量（不同特征值自动正交，只需单位化），拼成正交矩阵 $\mathbf{Q}$，标准形的系数恰是特征值 $0,2,6$，秩 $2$ 对应两个非零项。

本题综合考查矩阵的秩、实对称矩阵特征值与正交对角化、正交变换化二次型为标准形。

（I）求 $a$。 二次型矩阵为 ${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$，其秩等于 $\mathbf{A}$ 的秩。对 $\mathbf{A}$ 作行变换（$r_3+r_1$，$r_4-a{r}_2$）：
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ -1& 0& a\\ 0& a& -1\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& a+1\\ 0& 0& -(a+1)\end{array}\right).$$
要 $r({\mathbf{A}}^T\mathbf{A})=r(\mathbf{A})=2$，须 $a+1=0$，即 $a=-1$（否则 $r(\mathbf{A})=3$）。

（II）当 $a=-1$ 时，计算
$${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 0& 2& 2\\ 2& 2& 4\end{array}\right).$$
由特征方程
$$|\lambda \mathbf{E}-{\mathbf{A}}^T\mathbf{A}|=\lambda (\lambda -2)(\lambda -6)=0,$$
得特征值 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=6$。

求特征向量。 分别解 $({\lambda }_i\mathbf{E}-{\mathbf{A}}^T\mathbf{A})\mathbf{\xi }=0$：
$${\lambda }_1=0:{\mathbf{\xi }}_1=(-1,-1,1{)}^T;{\lambda }_2=2:{\mathbf{\xi }}_2=(1,-1,0{)}^T;{\lambda }_3=6:{\mathbf{\xi }}_3=(1,1,2{)}^T.$$
三者两两正交（实对称矩阵不同特征值的特征向量必正交）。

单位化并写出 $\mathbf{Q}$。
$${\mathbf{\gamma }}_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,-1,1{)}^T,{\mathbf{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0{)}^T,{\mathbf{\gamma }}_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2{)}^T.$$
令 $\mathbf{Q}=({\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,{\mathbf{\gamma }}_3)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ -\frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right)$，则在正交变换 $\mathbf{x}=\mathbf{Q}\mathbf{y}$ 下
$$f=0\cdot y_1^2+2y_2^2+6y_3^2=2y_2^2+6y_3^2.$$