2011 年考研数学（二） 第 8 题

两条主线：一是「维数」——由 $r(A)=3\Rightarrow r(A^{\ast })=1\Rightarrow$ 解空间 $3$ 维，先淘汰两向量选项；二是「找解」——恒等式 $A^{\ast }A=O$ 告诉你 $A$ 的列都是 $A^{\ast }x=0$ 的解。最后把基础解系 $(1,0,1,0{)}^{\mathrm{T}}$ 翻译成 ${\alpha }_1+{\alpha }_3=0$，说明 ${\alpha }_1,{\alpha }_3$ 只贡献一个无关方向，于是无关的 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 正好凑满 $3$ 个，就是基础解系。

本题综合考查伴随矩阵的秩、齐次方程组基础解系与向量组相关性。

因 $Ax=0$ 的基础解系只含 $1$ 个向量，故 $4-r(A)=1$，即 $r(A)=3$。由伴随矩阵秩的公式，当 $r(A)=n-1$ 时 $r(A^{\ast })=1$，于是 $A^{\ast }x=0$ 的基础解系含 $4-r(A^{\ast })=3$ 个线性无关向量，排除只含 $2$ 个向量的 A、B。

由 $A^{\ast }A=|A|E=O$（因 $r(A)=3<4$，$|A|=0$）知 $A$ 的每一列都是 $A^{\ast }x=0$ 的解，即 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 都是解。

又 $(1,0,1,0{)}^{\mathrm{T}}$ 是 $Ax=0$ 的解，即 $A(1,0,1,0{)}^{\mathrm{T}}={\alpha }_1+{\alpha }_3=0$，故 ${\alpha }_1=-{\alpha }_3$，${\alpha }_1,{\alpha }_3$ 线性相关。因 $r(A)=3$，去掉冗余的 ${\alpha }_1$ 后，${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关，恰好是 $3$ 个无关解向量，构成 $A^{\ast }x=0$ 的一个基础解系。应选 D。