2011 年考研数学（二） 第 7 题

这类题的关键口诀是「左行右列」：列操作右乘、行操作左乘。按题目顺序写出 $E=P_2(A{P}_1)=P_{2}A{P}_1$，两边同时左乘 $P_2^{-1}$、右乘 $P_1^{-1}$ 即得 $A=P_2^{-1}{P}_1^{-1}$。最后一步的小技巧是识别 $P_2$ 是「对调型」初等矩阵，其逆等于自身，于是化成 $P_2{P}_1^{-1}$，正好是选项 D。

本题考查初等变换与初等矩阵：列变换对应右乘，行变换对应左乘。

「将 $A$ 的第 $2$ 列加到第 $1$ 列」是初等列变换，对应右乘 $P_1$（$P_1$ 恰是把单位阵第 $2$ 列加到第 $1$ 列所得），故 $B=A{P}_1$。

「交换 $B$ 的第 $2,3$ 行」是初等行变换，对应左乘 $P_2$（对调行的初等矩阵），故 $E=P_{2}B=P_{2}A{P}_1$。

由 $P_{2}A{P}_1=E$ 解得 $A=P_2^{-1}{P}_1^{-1}$。而交换两行（列）的初等矩阵是自身的逆，即 $P_2^{-1}=P_2$，所以 $A=P_2{P}_1^{-1}$。应选 D。