2011 年考研数学（二） 第 6 题

积分限完全相同的几个定积分比大小，几乎总是「比被积函数」。核心是在 $(0,\pi /4)$ 上排序 $\sin x<\cos x<\cot x$：前一个不等号因 $x<\pi /4$，后一个因 $\cot x=\cos x/\sin x$ 且 $\sin x<1$。再套上单调增的 $\ln$，顺序不变，于是 $I<K<J$。（这三个积分虽是 $x=0$ 处的反常积分，但都收敛，不影响按被积函数比较。）

本题考查积分限相同时用比较被积函数来比较定积分的大小。 只需在积分区间上比较三个被积函数。

当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 时，$0<\sin x<\cos x<1$，故 $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}>1$，且 $\cos x<\cot x$（因为 $\sin x<1$）。于是
$$0<\sin x<\cos x<\cot x.$$

由于 $\ln$ 单调增，$\ln \sin x<\ln \cos x<\ln \cot x$。积分限相同，故
$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \sin xdx<{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos xdx<{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cot xdx,$$
即 $I<K<J$。应选 B。